Práctica eficaz con ejercicios resueltos de álgebra lineal

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Práctica eficaz con ejercicios resueltos de álgebra lineal

Ejercicios resueltos de álgebra lineal

El álgebra lineal es una de las ramas fundamentales de las matemáticas que tiene aplicaciones en diversas áreas como la física, la ingeniería, la informática y más. Aquí en Matemante, te ofrecemos una selección de ejercicios resueltos de álgebra lineal para que puedas practicar y mejorar tus habilidades. Este artículo te proporcionará una guía clara y concisa, con ejemplos resueltos paso a paso.

¿Qué es el Álgebra Lineal?

El álgebra lineal es el estudio de vectores, espacios vectoriales, transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Es una herramienta esencial en muchas disciplinas científicas y técnicas.

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Importancia de Resolver Ejercicios de Álgebra Lineal

Resolver ejercicios de álgebra lineal te ayuda a:

  • Comprender los conceptos fundamentales.
  • Desarrollar habilidades analíticas.
  • Aplicar teorías matemáticas a problemas prácticos.

Ejercicios Resueltos

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Ejemplo 1: Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Considera el siguiente sistema de ecuaciones:
\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x - y = 3 \end

Paso 1: Resolver por el método de sustitución

Despejamos y de la primera ecuación:

y = \frac{5 - 2x}{3}

Sustituimos y en la segunda ecuación:

4x - \left(\frac{5 - 2x}{3}\right) = 3

Multiplicamos todo por 3 para eliminar el denominador:

12x−(5−2x)=9
12x−5+2x=9
14x=14
x=1

Sustituimos x = 1 en y = \frac{5 - 2x}{3}:

y = \frac{5 - 2(1)}{3} = 1

La solución del sistema es:

(x, y) = (1, 1)

Espacios Vectoriales

Ejemplo 2: Verificación de un subespacio

Sea V el espacio vectorial \mathbb{R}^3 y W el conjunto de vectores de la forma (a, b, 0). Verifiquemos si W es un subespacio de V.

Paso 1: Verificar el cierre bajo la adición

Tomamos dos vectores cualesquiera (a_1, b_1, 0) y (a_2, b_2, 0) en W:

(a_1, b_1, 0) + (a_2, b_2, 0) = (a_1 + a_2, b_1 + b_2, 0)

El resultado está en W, por lo que está cerrado bajo la adición.

Paso 2: Verificar el cierre bajo la multiplicación escalar

Tomamos un vector (a, b, 0) en W y un escalar c \in \mathbb{R}:

c(a, b, 0) = (ca, cb, 0)

El resultado está en W, por lo que está cerrado bajo la multiplicación escalar.

Como W cumple con ambas propiedades, es un subespacio de V.

Transformaciones Lineales

Ejemplo 3: imagen y núcleo de una transformación lineal

Sea T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 definida por T(x, y) = (2x + y, x - y).

Paso 1: Encontrar el núcleo de T

El núcleo de T es el conjunto de vectores (x, y) tales que T(x, y) = (0, 0):

T(x, y) = (2x + y, x - y) = (0, 0)

Esto implica que:

\begin{cases} 2x + y = 0 \\ x - y = 0 \end

Resolvemos el sistema:

y = x \\ 2x + x = 0 \implies 3x = 0 \implies x = 0 \\ y = 0

Entonces, el núcleo de T es:

\{(0, 0)\}

Paso 2: Encontrar la imagen de T

La imagen de T es el conjunto de todos los vectores de la forma T(x, y) = (2x + y, x - y). Para cualquier (u, v) \in \mathbb{R}^2, necesitamos encontrar x y y tales que:

\begin{cases} 2x + y = u \\ x - y = v \end

Resolvemos el sistema:


y = u - 2x \\ x - (u - 2x) = v \implies 3x = u + v \implies x = \frac{u + v}{3} \\ y = u - 2\left(\frac{u + v}{3}\right) = \frac{3u - 2u - 2v}{3} = \frac{u - 2v}{3}

Entonces, la imagen de T es todo \mathbb{R}^2, ya que para cualquier u y v existen x y y tales que T(x, y) = (u, v).

Practicar con ejercicios resueltos de álgebra lineal es fundamental para dominar esta disciplina. Aquí en Matemante, te ofrecemos ejemplos claros y detallados que te ayudarán a entender y aplicar los conceptos básicos de manera efectiva. ¡Sigue practicando y mejorando tus habilidades matemáticas!

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